题目2

例题 1：二倍角的基本计算（知一求二）

$\alpha$ $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ 。

$\cos 2\alpha$ 的值；

$\tan 2\alpha$ 的值。

例题 2：公式的逆用与凑角（训练对数字的敏感度）

不查表求下列各式的值：

$\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$

$2\sin 22.5^\circ \cos 22.5^\circ$

$\frac{1 - \tan^2 75^\circ}{2\tan 75^\circ}$ $\tan 2\alpha$ 公式的倒数形式)

例题 3：巧用万能公式思想（或齐次式）

$\tan \alpha = 2$ 。

$\sin 2\alpha - \cos 2\alpha$ 的值。

例题 4：辅助角的基本变形

$A\sin(\omega x + \varphi)$ $A>0, |\varphi|<\pi$ ）：

$y = \sin x + \cos x$

$y = \sin x - \sqrt{3}\cos x$

$y = 3\sin 2x + 4\cos 2x$

例题 5：结合图像性质（典型考题）

$f(x) = \sqrt{3}\sin x + \cos x$ 。

$f(x)$ $x$ 的集合；

$f(x)$ 的单调递增区间。

例题 6：三角函数化简的“终极形态”

$f(x) = \cos^2 x + \sqrt{3}\sin x \cos x - \frac{1}{2}$ 。

$f(x)$ $A\sin(\omega x + \varphi)$ 的形式；

$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ $f(x)$ 的值域。

答案：
$\alpha$ $\Rightarrow \cos\alpha = -\frac{4}{5}$ 。
$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - 2 \times \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$ 。
$\tan\alpha = -\frac{3}{4}$ 。
$\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} = \frac{-3/2}{1 - 9/16} = \frac{-3/2}{7/16} = -\frac{24}{7}$ 。
💡 教学提示 $\cos 2\alpha$ $\cos^2-\sin^2, 2\cos^2-1, 1-2\sin^2$ $\sin$ $1-2\sin^2$ $\cos$ 符号出错而导致后续全错。

答案：
$= \cos(2 \times 15^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。
$= \sin(2 \times 22.5^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。
$\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ 的倒数。
$= \frac{1}{\tan(2 \times 75^\circ)} = \frac{1}{\tan 150^\circ} = \frac{1}{-\sqrt{3}/3} = -\sqrt{3}$ 。
💡 教学提示 $15^\circ, 22.5^\circ$ 发呆。要告诉学生：看到非特殊角，先想能不能凑成倍角。

答案：
$\tan\alpha=2 \Rightarrow$ $\sin, \cos$ (需讨论象限)。
方法二（万能公式/齐次式法，推荐）：
$\sin 2\alpha = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha} = \frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha} = \frac{4}{5}$
$\cos 2\alpha = \frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha} = \frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha} = \frac{1-4}{1+4} = -\frac{3}{5}$
$4/5 - (-3/5) = 7/5$ 。
💡 教学提示：对于数学一般的学生，教方法一（稳）；对于数学有追求的学生，教方法二（ $1 = \sin^2 + \cos^2$ 构造分母），这在高中非常通用。

答案：
$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$
$2\sin(x - \frac{\pi}{3})$ $\sin$ $\cos$ 系数负，角在第四象限）
$5\sin(2x + \varphi)$ $\tan\varphi = \frac{4}{3}$ 。
💡 教学提示 $-\frac{\pi}{3}$ $+\frac{\pi}{6}$ $\tan \varphi = \frac{b}{a}$ $(a,b)$ $\varphi$ $(1, -\sqrt{3})$ 在第四象限。

答案：
$f(x) = 2\sin(x + \frac{\pi}{6})$
$x + \frac{\pi}{6} = 2k\pi + \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = 2k\pi + \frac{\pi}{3} (k \in Z)$ 。
$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \le x + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
$[-\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \frac{\pi}{3} + 2k\pi]$ 。
💡 教学提示标准应用场景 $(\omega x + \varphi)$ $T$ $\sin T$ 的性质。

答案：
$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$
$\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$
$f(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}$
$f(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x$
$f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{6})$ 。
$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ $t = 2x + \frac{\pi}{6} \in [\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$ 。
$y=\sin t$ $[\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}]$ 的图像：
$t=\frac{\pi}{2}$ 时取 1；
$t=\frac{7\pi}{6}$ $-1/2$ $\sin \frac{\pi}{6} = 1/2$ ）。
$[-\frac{1}{2}, 1]$ 。
💡 教学提示：这是高频考题。
1. 第一关 $\cos^2$ $\sin \cos$ 马上想二倍角。这是条件反射。
2. 第二关 $x$ $\frac{\pi}{2}$ ）。