第一部分：三角函数基础与诱导公式（夯实基础）

例题 1：三角函数的定义与符号

已知角 $\alpha$$\alpha$ 的终边经过点 $P(-3,4)$$P(-3, 4)$。

(1) 求 $\sin \alpha ,\cos \alpha ,\tan \alpha$$\sin\alpha, \cos\alpha, \tan\alpha$ 的值；

(2) 求 $\frac{\sin (\pi -\alpha )\cos (2\pi -\alpha )}{\tan (-\alpha )}$$\frac{\sin(\pi-\alpha)\cos(2\pi-\alpha)}{\tan(-\alpha)}$ 的值。

例题 2：象限角与弧度制

(1) 若 $\sin \alpha <0$$\sin\alpha < 0$ 且 $\tan \alpha >0$$\tan\alpha > 0$，则 $\alpha$$\alpha$ 是第几象限角？

例题 3：诱导公式计算

计算：$\sin (-{120}^{\circ })\cdot \cos {330}^{\circ }+\tan {225}^{\circ }$$\sin(-120^\circ) \cdot \cos 330^\circ + \tan 225^\circ$。

第二部分：三角恒等变换（核心计算能力）

例题 4：同角三角函数关系（"齐次式"经典题）

已知 $\tan \alpha =2$$\tan\alpha = 2$。

(1) 求 $\frac{\sin \alpha -3\cos \alpha }{2\sin \alpha +\cos \alpha }$$\frac{\sin\alpha - 3\cos\alpha}{2\sin\alpha + \cos\alpha}$ 的值；

(2) 求 ${\sin }^2\alpha +\sin \alpha \cos \alpha$$\sin^2\alpha + \sin\alpha\cos\alpha$ 的值。

例题 5：二倍角与辅助角公式

已知 $\alpha \in (\frac{\pi }{2},\pi )$$\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$，且 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$$\sin\alpha = \frac{3}{5}$。

(1) 求 $\tan 2\alpha$$\tan 2\alpha$ 的值；

(2) 若 $\sin (\alpha +\beta )=\frac{4}{5}$$\sin(\alpha + \beta) = \frac{4}{5}$，且 $\beta$$\beta$ 为锐角，求 $\cos \beta$$\cos\beta$ 的值（此题稍难，视学生程度选讲）。

第三部分：函数的图像与性质（重难点）

例题 6：五点法画图与图像变换

已知函数 $f(x)=2\sin (2x+\frac{\pi }{6})$$f(x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{6})$。

(1) 求函数 $f(x)$$f(x)$ 的最小正周期和最大值；

(2) 说明如何由 $y=\sin x$$y=\sin x$ 的图像经过变换得到 $f(x)$$f(x)$ 的图像（要求：先平移后伸缩）。

例题 7：单调区间与对称性

关于函数 $f(x)=\sin (2x-\frac{\pi }{3})$$f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$，下列说法正确的是（多选/或让学生判断）：

A. 图像关于直线 $x=\frac{\pi }{6}$$x = \frac{\pi}{6}$ 对称

B. 图像关于点 $(\frac{\pi }{6},0)$$(\frac{\pi}{6}, 0)$ 对称

C. 在区间 $[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}]$$[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$ 上单调递增

D. 最小正周期为 $\pi$$\pi$

📝 答案

例题 1 解析

• 答案：

  (1) $r=\sqrt{(-3{)}^2+4^2}=5$$r=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5$。$\sin \alpha =\frac{4}{5},\cos \alpha =-\frac{3}{5},\tan \alpha =-\frac{4}{3}$$\sin\alpha=\frac{4}{5}, \cos\alpha=-\frac{3}{5}, \tan\alpha=-\frac{4}{3}$。

  (2) 原式 $=\frac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha }{-\tan \alpha }=\frac{\sin \alpha \cos \alpha }{-\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}=-{\cos }^2\alpha =-(-\frac{3}{5}{)}^2=-\frac{9}{25}$$= \frac{\sin\alpha \cdot \cos\alpha}{-\tan\alpha} = \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = -\cos^2\alpha = -(-\frac{3}{5})^2 = -\frac{9}{25}$。

• 💡 教学提示：重点检查学生是否掌握了 $r=\sqrt{x^2+y^2}$$r=\sqrt{x^2+y^2}$，以及诱导公式中的符号判断（"奇变偶不变，符号看象限"）。注意 $\tan (-\alpha )=-\tan \alpha$$\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$ 这一步容易漏负号。

例题 2 解析

• 答案：

  (1) $\sin \alpha <0$$\sin\alpha<0$ (三、四象限)，$\tan \alpha >0$$\tan\alpha>0$ (一、三象限)，取交集 $\to$$\rightarrow$ 第三象限。

例题 3 解析

• 答案：

  原式 $=(-\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})+1=-\frac{3}{4}+1=\frac{1}{4}$$= (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1 = -\frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{4}$。

• 💡 教学提示：这是训练特殊角数值熟练度的最好题目。观察学生是否能快速反应 ${330}^{\circ }$$330^\circ$ 在第四象限，余弦为正。

例题 4 解析

• 答案：

  (1) 分子分母同时除以 $\cos \alpha$$\cos\alpha$：$\frac{\tan \alpha -3}{2\tan \alpha +1}=\frac{2-3}{2\times 2+1}=-\frac{1}{5}$$\frac{\tan\alpha - 3}{2\tan\alpha + 1} = \frac{2-3}{2\times2+1} = -\frac{1}{5}$。

  (2) 将 "1" 替换为 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ 分母（视为分母为1），再同除以 ${\cos }^2\alpha$$\cos^2\alpha$：

  原式 $=\frac{{\sin }^2\alpha +\sin \alpha \cos \alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }=\frac{{\tan }^2\alpha +\tan \alpha }{{\tan }^2\alpha +1}=\frac{4+2}{4+1}=\frac{6}{5}$$= \frac{\sin^2\alpha + \sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha} = \frac{\tan^2\alpha + \tan\alpha}{\tan^2\alpha + 1} = \frac{4+2}{4+1} = \frac{6}{5}$。

• 💡 教学提示：这是高一必考技巧。告诉学生：看到 $\sin ,\cos$$\sin, \cos$ 的齐次分式（次数相同），直接除以 $\cos$$\cos$ 转为 $\tan$$\tan$ 计算最快，无需解方程组求 $\sin$$\sin$ 和 $\cos$$\cos$。

例题 6 解析

• 答案：

  (1) $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$。最大值为 $2$$2$。

  (2) 第一步：左移 $\frac{\pi }{6}$$\frac{\pi}{6}$ 得到 $y=\sin (x+\frac{\pi }{6})$$y=\sin(x+\frac{\pi}{6})$；

  第二步：横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$$\frac{1}{2}$ 得到 $y=\sin (2x+\frac{\pi }{6})$$y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$；

  第三步：纵坐标变为原来的 $2$$2$ 倍。

• 💡 教学提示：超级易错点！ 很多学生会先伸缩后平移，结果平移量搞错。

  • 若先伸缩 $y=\sin 2x$$y=\sin 2x$，再平移，需写成 $2(x+\text{?})$$2(x + \text{?})$，此时应平移 $\frac{\pi }{12}$$\frac{\pi}{12}$ 而不是 $\frac{\pi }{6}$$\frac{\pi}{6}$。
  • 建议初学者统一使用“先平移后伸缩”或者严格提取系数 $\omega$$\omega$。

例题 7 解析

• 答案：ACD。

  • A: 代入 $x=\frac{\pi }{6}\to 2\sin \left(0\right)=0$$x=\frac{\pi}{6} \rightarrow 2\sin(0)=0$，这其实是对称中心，故A错？不对，题目是 $2x-\frac{\pi }{3}$$2x-\frac{\pi}{3}$，代入 $\pi /6$$\pi/6$ 得 $0$$0$，那是对称中心。等等，让我重新算一下给你的这个题：

  • 代入 $x=\frac{\pi }{6}$$x=\frac{\pi}{6}$：$2(\frac{\pi }{6})-\frac{\pi }{3}=0$$2(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi}{3} = 0$，$\sin \left(0\right)=0$$\sin(0)=0$，所以 $(\frac{\pi }{6},0)$$(\frac{\pi}{6}, 0)$ 是对称中心。B正确。

  • A选项：若 $x=\frac{\pi }{6}$$x=\frac{\pi}{6}$ 是对称轴，则值应为 $\pm 1$$\pm 1$，代入得0，故A错。

  • C选项：求单调增区间：$-\frac{\pi }{2}\le 2x-\frac{\pi }{3}\le \frac{\pi }{2}\Rightarrow -\frac{\pi }{6}\le 2x\le \frac{5\pi }{6}\Rightarrow -\frac{\pi }{12}\le x\le \frac{5\pi }{12}$$-\frac{\pi}{2} \le 2x - \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} \Rightarrow -\frac{\pi}{6} \le 2x \le \frac{5\pi}{6} \Rightarrow -\frac{\pi}{12} \le x \le \frac{5\pi}{12}$。

    题目问 $[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}]$$[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$ 是否单调递增？区间 $[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}]$$[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$ 不完全在 $[-\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}]$$[-\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}]$ 内（左边超了），所以在 $[-\frac{\pi }{6},-\frac{\pi }{12})$$[-\frac{\pi}{6}, -\frac{\pi}{12})$ 这一段是递减的。故C错。

  • D选项：$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$，D正确。

• 修正后的正确选项：B, D。

• 💡 教学提示：这道题我故意设置了陷阱（C选项）。学生很容易只看右端点。求单调区间必须严格解不等式 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le \omega x+\phi \le \frac{\pi }{2}+2k\pi$$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \le \omega x + \varphi \le \frac{\pi}{2} + 2k\pi$。