三角函数知识点清单

一、 基础概念与定义

1. 角的概念

• 任意角的分类：

  • 正角： 按逆时针方向旋转形成的角。
  • 负角： 按顺时针方向旋转形成的角。
  • 零角： 不作任何旋转形成的角。

• 终边相同的角： 与角 $\alpha$$\alpha$ 终边相同的角的集合为 $\{\beta \mid \beta =k\cdot {360}^{\circ }+\alpha ,k\in \mathbb{Z}\}$$\{\beta \mid \beta = k \cdot 360^\circ + \alpha, k \in \mathbb{Z}\}$。

2. 角度与弧度

• 弧度制定义： 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度。正角的弧度数为正，负角为负，零角为零。

• 互化公式：

  $2\pi ={360}^{\circ },1^{\circ }=\frac{\pi }{180},1={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^{\circ }\approx {57.3}^{\circ }$$2\pi = 360^\circ, \quad 1^\circ = \frac{\pi}{180}, \quad 1 = \left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ \approx 57.3^\circ$

• 扇形公式：

  设半径为 $r$$r$，圆心角为 $\alpha$$\alpha$ ($\alpha$$\alpha$ 为弧度制)，弧长为 $l$$l$，周长为 $C$$C$，面积为 $S$$S$。

  $l=r|\alpha |$$l = r|\alpha|$

  $C=2r+l$$C = 2r + l$

  $S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}|\alpha |r^2$$S = \frac{1}{2}lr = \frac{1}{2}|\alpha|r^2$

3. 角的集合表示

• 象限角：

  • 第一象限：$\{\alpha \mid k\cdot {360}^{\circ }<\alpha <k\cdot {360}^{\circ }+{90}^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}$$\{\alpha \mid k \cdot 360^\circ < \alpha < k \cdot 360^\circ + 90^\circ, k \in \mathbb{Z}\}$
  • 第二象限：$\{\alpha \mid k\cdot {360}^{\circ }+{90}^{\circ }<\alpha <k\cdot {360}^{\circ }+{180}^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}$$\{\alpha \mid k \cdot 360^\circ + 90^\circ < \alpha < k \cdot 360^\circ + 180^\circ, k \in \mathbb{Z}\}$
  • 第三象限：$\{\alpha \mid k\cdot {360}^{\circ }+{180}^{\circ }<\alpha <k\cdot {360}^{\circ }+{270}^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}$$\{\alpha \mid k \cdot 360^\circ + 180^\circ < \alpha < k \cdot 360^\circ + 270^\circ, k \in \mathbb{Z}\}$
  • 第四象限：$\{\alpha \mid k\cdot {360}^{\circ }+{270}^{\circ }<\alpha <k\cdot {360}^{\circ }+{360}^{\circ },k\in \mathbb{Z}\}$$\{\alpha \mid k \cdot 360^\circ + 270^\circ < \alpha < k \cdot 360^\circ + 360^\circ, k \in \mathbb{Z}\}$

4. 三角函数的定义

设 $\alpha$$\alpha$ 是一个任意大小的角，$\alpha$$\alpha$ 的终边上任意一点 $P$$P$ 的坐标是 $(x,y)$$(x, y)$，它与原点的距离是 $r$$r$ ($r=\sqrt{x^2+y^2}>0$$r = \sqrt{x^2+y^2} > 0$)，则：

$\sin \alpha =\frac{y}{r},\cos \alpha =\frac{x}{r},\tan \alpha =\frac{y}{x}(x\ne 0)$$\sin\alpha = \frac{y}{r}, \quad \cos\alpha = \frac{x}{r}, \quad \tan\alpha = \frac{y}{x} (x \neq 0)$

• 符号口诀： 一全正、二正弦、三正切、四余弦。

5. 同角三角函数的基本关系

• 平方关系： ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ （变形：${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$, ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$）
• 商的关系： $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$

6. 特殊角的三角函数值

二、 三角恒等变换公式 (Page 3, 4)

1. 诱导公式

口诀：奇变偶不变，符号看象限。

1. $\sin (2k\pi +\alpha )=\sin \alpha ,\cos (2k\pi +\alpha )=\cos \alpha ,\tan (2k\pi +\alpha )=\tan \alpha$$\sin(2k\pi+\alpha)=\sin\alpha, \quad \cos(2k\pi+\alpha)=\cos\alpha, \quad \tan(2k\pi+\alpha)=\tan\alpha$
2. $\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha ,\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha ,\tan (\pi +\alpha )=\tan \alpha$$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha, \quad \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha, \quad \tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha$
3. $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha ,\cos (-\alpha )=\cos \alpha ,\tan (-\alpha )=-\tan \alpha$$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha, \quad \cos(-\alpha)=\cos\alpha, \quad \tan(-\alpha)=-\tan\alpha$
4. $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha ,\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha ,\tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha$$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha, \quad \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, \quad \tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha$
5. $\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha ,\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha$$\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha, \quad \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha$
6. $\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )=\cos \alpha ,\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\sin \alpha$$\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha, \quad \cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha$

2. 两角和差的正弦、余弦、正切公式

1. $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$
2. $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$
3. $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$$\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$
4. $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$
5. $\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$$\tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$
6. $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$

3. 二倍角公式

1. 正弦： $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

2. 余弦： $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$$\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$

   • 降幂公式： ${\cos }^2\alpha =\frac{\cos 2\alpha +1}{2},{\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$$\cos^2\alpha = \frac{\cos2\alpha+1}{2}, \quad \sin^2\alpha = \frac{1-\cos2\alpha}{2}$
   • 升幂公式： $1+\sin \alpha =(\sin \frac{\alpha }{2}+\cos \frac{\alpha }{2}{)}^2$$1+\sin\alpha = (\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2})^2$ 等

3. 正切： $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$$\tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

   • 变形：$\sin \alpha \cos \alpha =\frac{\sin 2\alpha }{2}$$\sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin2\alpha}{2}$

4. 半角公式

1. $\sin \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$$\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$
2. $\cos \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$$\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$
3. $\tan \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }$$\tan\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$

5. 万能公式

设 $t=\tan \frac{\alpha }{2}$$t = \tan\frac{\alpha}{2}$，则：

$\sin \alpha =\frac{2t}{1+t^2},\cos \alpha =\frac{1-t^2}{1+t^2},\tan \alpha =\frac{2t}{1-t^2}$$\sin\alpha = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos\alpha = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad \tan\alpha = \frac{2t}{1-t^2}$

6. 辅助角公式

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$

其中 $\tan \phi =\frac{b}{a}$$\tan\varphi = \frac{b}{a}$，点 $(a,b)$$(a,b)$ 在角 $\phi$$\varphi$ 的终边上。

三、 三角函数的图像与性质

1. 三种基本函数的性质对比

2. 函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$$y=A\sin(\omega x + \varphi) + b$ 的图像变换

方法一：先平移后伸缩

1. 相位变换（左右平移）： $y=\sin x\stackrel{\text{左(右)移}|\phi |}{\to }y=\sin (x+\phi )$$y=\sin x \xrightarrow{\text{左(右)移}|\varphi|} y=\sin(x+\varphi)$

2. 周期变换（横向伸缩）： $y=\sin (x+\phi )\stackrel{\text{横坐标变为原来的}1/\omega }{\to }y=\sin (\omega x+\phi )$$y=\sin(x+\varphi) \xrightarrow{\text{横坐标变为原来的}1/\omega} y=\sin(\omega x+\varphi)$

3. 振幅变换（纵向伸缩）： $y=\sin (\omega x+\phi )\stackrel{\text{纵坐标变为原来的}A}{\to }y=A\sin (\omega x+\phi )$$y=\sin(\omega x+\varphi) \xrightarrow{\text{纵坐标变为原来的}A} y=A\sin(\omega x+\varphi)$

    

    

方法二：先伸缩后平移

1. 周期变换： $y=\sin x\stackrel{\text{横坐标变为原来的}1/\omega }{\to }y=\sin \omega x$$y=\sin x \xrightarrow{\text{横坐标变为原来的}1/\omega} y=\sin \omega x$

    

    

2. 相位变换： $y=\sin \omega x\stackrel{\text{左(右)移}|\frac{\phi }{\omega }|}{\to }y=\sin (\omega (x+\frac{\phi }{\omega }))=\sin (\omega x+\phi )$$y=\sin \omega x \xrightarrow{\text{左(右)移}|\frac{\varphi}{\omega}|} y=\sin(\omega(x+\frac{\varphi}{\omega})) = \sin(\omega x+\varphi)$

    

    

   • (注意：此时平移量为 $\frac{|\phi |}{\omega }$$\frac{|\varphi|}{\omega}$)

      

      

3. 振幅变换： 变为 $y=A\sin (\omega x+\phi )$$y=A\sin(\omega x+\varphi)$

3. 函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$$y=A\sin(\omega x + \varphi)$ ($A>0,\omega >0$$A>0, \omega>0$) 的性质

1. 定义域： $R$$R$

2. 值域： $[-A,A]$$[-A, A]$

3. 单调性： 根据 $y=\sin x$$y=\sin x$ 的单调区间，令 $t=\omega x+\phi$$t = \omega x + \varphi$ 代入求解。

4. 奇偶性：

   • 当 $\phi =k\pi$$\varphi = k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$$k \in \mathbb{Z}$) 时，为奇函数。
   • 当 $\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$$\varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$$k \in \mathbb{Z}$) 时，为偶函数。

5. 周期： $T=\frac{2\pi }{\omega }$$T = \frac{2\pi}{\omega}$

6. 对称性： 根据 $y=\sin x$$y=\sin x$ 的对称性研究（对称轴 $\omega x+\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}$$\omega x + \varphi = k\pi + \frac{\pi}{2}$，对称中心 $\omega x+\phi =k\pi$$\omega x + \varphi = k\pi$）。

4. 函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+B$$y=A\sin(\omega x + \varphi) + B$ 的应用

1. 振幅： $A$$A$
2. 周期： $T=\frac{2\pi }{\omega }$$T = \frac{2\pi}{\omega}$
3. 频率： $f=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }$$f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$
4. 相位： $\omega x+\phi$$\omega x + \varphi$
5. 初相： $\phi$$\varphi$